【第59回】2023年1月試験（学科一般試験）問３（気温と混合比と気圧の関係）

混合比（予備知識）

混合比（読：こんごうひ）とは湿潤空気に含まれる「水蒸気の質量」と「乾燥空気の質量」の比のことです。

式で書くとこうなります。

\(\text{混合比}=\displaystyle\frac{\text{水蒸気質量 [g]}}{\text{乾燥空気質量 [㎏]}}\)

乾燥空気は湿潤空気より重い（予備知識）

乾燥空気は湿潤空気より重い

乾燥空気は約78%が窒素N₂（分子量28）で、約21%が酸素O₂（分子量32）です。

ですので、乾燥空気の平均分子量は29（28 × 0.78 + 32 × 0.22）となります。

一方、水蒸気はH₂Oなので分子量は18です。

アボガドロの法則（＝すべての気体は同温・同圧のとき、同体積中に同数の分子を含んでいるという法則）より、乾燥空気塊であっても、湿潤空気塊であっても、同温・同圧・同体積の空気には、同じ数の分子が含まれます。

ここでは簡単のため、同温・同圧・同体積の空気塊に５個の分子が含まれているとしましょう。

このとき、乾燥空気塊の分子量は160（29 × 5）で、湿潤空気塊の分子量は123（29 × 3 + 18 × 2）なので、乾燥空気塊は湿潤空気塊より重くなります。

本問の解説：\( P_\text{A} \) と \( P_\text{B} \) の大小関係について

（問題）地点 \( \text{A}\)、\( \text{B}\) における地上（高度0m）から高度1000mまでの気層の気温の平均値がそれぞれ \( T_\text{A}\)、\( T_\text{B}\)、混合比がそれぞれ \(q_\text{A}\)、\( q_\text{B}\) であり、また、\( T_\text{A}<T_\text{B} \) かつ \( q_\text{A}=q_\text{B} \) となっている。各地点の地上気圧が等しいとき、地点 \( \text{A} \)、\( \text{B} \) における高度1000mの気圧 \( P_\text{A} \)、\( P_\text{B} \) の大小関係を求めよ。

→ 答えは \( P_\text{A} < P_\text{B} \) です。

気温差（\( T_\text{A} < T_\text{B} \)）は、空気の膨らみによる気圧差を生じます。

混合比は同じ（\( q_\text{A} = q_\text{B} \)）なので、空気分子の重さによる気圧差は生じません。

上図の例では、Aの混合比は \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) で、Bの混合比は \( \frac{2}{3} \) なので、混合比は同じです。

ですので、地点 \( \text{A} \) 、\( \text{B} \) 間では、空気の膨らみによる気圧の大小関係を求めます。

したがって、\( T_\text{A} < T_\text{B} \) より、地点 \( \text{B} \) の空気の方が膨張して軽くなっているので、\( P_\text{A} < P_\text{B} \) となります。

本問の解説：\( P_\text{B} \) と \( P_\text{C} \) の大小関係について

（問題）地点 \( \text{B}\)、\( \text{C}\) における地上（高度0m）から高度1000mまでの気層の気温の平均値がそれぞれ \( T_\text{B}\)、\( T_\text{C}\)、混合比がそれぞれ \(q_\text{B}\)、\( q_\text{C}\) であり、また、\( T_\text{B}=T_\text{C} \) かつ \( q_\text{B}<q_\text{C} \) となっている。各地点の地上気圧が等しいとき、地点 \( \text{B} \)、\( \text{C} \) における高度1000mの気圧 \( P_\text{B} \)、\( P_\text{C} \) の大小関係を求めよ。

→ 答えは \( P_\text{B} < P_\text{C} \) です。

気温は同じ（\( T_\text{B} = T_\text{C} \)）なので、空気の膨らみによる気圧差は生じません。

混合比差（\( q_\text{B} < q_\text{C} \)）は、空気分子の重さによる気圧差を生じます。

ですので、地点 \( \text{B} \) 、\( \text{C} \) 間では、空気分子の重さによる気圧の大小関係を求めます。

上図の例では、空気塊bの混合比 \( q_\text{B} \) は \( \frac{4}{3} \) で、空気塊cの混合比 \( q_\text{C} \) は \( \frac{6}{1} \) なので、空気塊cの混合比 \( q_\text{C} \) の方が大きく、空気塊bより軽いです。

次に、計算を簡単にするため、乾燥空気の分子量を２、水蒸気の分子量を１として考えてみましょう。

すると、地上〜分子量８の位置（地点Bは 1 × 2 + 2 × 3 = 8、地点Cは 1 × 6 + 2 × 1 = 8）で等圧線を引くと、地点 \( \text{C} \) の方が等圧線の高度が高くなります。

言い換えると、空気塊cの方が軽いので、同じ高度でみた時に気圧が高くなります。

したがって、\( q_\text{B} < q_\text{C} \) より、地点 \( \text{C} \) の空気の方が軽いので、\( P_\text{B} < P_\text{C} \) となります。

以上より、\( P_\text{A} < P_\text{B} \) かつ \( P_\text{B} < P_\text{C} \) であるため、答えは \( P_\text{A} < P_\text{B} < P_\text{C} \) となります。