【第60回】2023年８月試験（学科一般試験）問７（低気圧中心と周囲との気圧差・風速差）

（問題）図は、軸対称の気圧分布・風速分布をもつ低気圧の中心とその周辺の気温及び気圧の分布を、高度1000mから 2000mの範囲で模式的に示したものである。この低気圧に伴う風と気圧について述べた次の文章の下線部 (a) ～ (d) の正誤の組み合わせとして正しいものを、下記の１～５の中から１つ選べ。ただし、この低気圧の範囲では静力学平衡、及び傾度風平衡が成り立っており、コリオリパラメーターは一定、風向はどの高さでも同じとする。また、以下の文では気圧差は高い気圧から低い気圧を引いた差であり、すべて正である。

傾度風平衡にあるこの低気圧においては (a) 気圧傾度力がコリオリ力と遠心力の和と釣り合っている。また、この低気圧では、どの高度でも中心に近いほど高温であった。このとき、２つの高度1000m、2000mで考えると、静力学平衡の仮定より、中心Oの周辺の点Rにおける２つの高度間の気圧差ΔP_Rは、中心Oにおける２つの高度間の気圧差ΔP_Oより (b) 大きい。このことから、高度2000mにおける2点O’、R’間の気圧差ΔP₂₀₀₀は高度1000mの2点O、R間の気圧差ΔP₁₀₀₀より (c) 小さいことが分かる。これらのことから、中心ほど高温で軸対称な分布を持つこの低気圧においては、高度が高くなるほど風速は (d) 小さくなることが分かる。

　本問は、静力学平衡および傾度風平衡が成り立つ場合における、低気圧中心と周囲との気圧差および風速差に関する問題です。

本問の解説：(a) について

→ 答えは 正 です。

ここでは、傾度風平衡にある低気圧において (a) 気圧傾度力がコリオリ力と遠心力の和と釣り合っているかどうかを考えます。

北半球にある低気圧では、

気圧傾度力 は気圧の高い外側から内側に向かって働きます。

コリオリ力 は風向の直角右方向に働きますので、外向きの力になります。

遠心力 はもちろん外向きに働きます。

これら３つの力が釣り合った状態を、傾度風平衡 といいます。

したがって、傾度風平衡にある低気圧において、気圧傾度力はコリオリ力と遠心力の和と釣り合っていますので、答えは 正 となります。

本問の解説：(b) について

（問題）中心Oの周辺の点Rにおける２つの高度間の気圧差ΔP_Rは、中心Oにおける２つの高度間の気圧差ΔP_Oより (b) 大きい。

→ 答えは 正 です。

ここでは、ΔP_O ＜ΔP_R であるかどうかを考えます。

この問題は 静力学平衡 の式から解くことができます。

静力学平衡とは、２つの等圧面の気圧差が、その間に挟まれた空気の単位面積当たりの重さに等しい状態のことをいいます。

上図において、微小な高度幅 \( \Delta z \) にある空気の単位面積当たりの重さは \( \rho g \Delta z \) （ \( \rho \) は密度、\( g \) は重力の加速度）なので、上下面の気圧差 \( \Delta p \) は、鉛直上向きを正とすると

\( \Delta p = \, – \rho g \Delta z \tag{b-1}\)

\( \Delta p = \, – \rho g \Delta z \tag{b-1}\)

となります。

(b-1)式を使って、ΔP_O と ΔP_R 間の静力学平衡の式をそれぞれ表すと以下のようになります。

（ \(\rho_O\)、\(\rho_R\) はそれぞれ ΔP_O、ΔP_R 間の密度）

\( \Delta P_O = \, – \rho_O g \Delta Z \tag{b-2}\)

\( \Delta P_O = \, – \rho_O g \Delta Z \tag{b-2}\)

\( \Delta P_R = \, – \rho_R g \Delta Z \tag{b-3}\)

\( \Delta P_R = \, – \rho_R g \Delta Z \tag{b-3}\)

ここで、\(\Delta Z\) は1000m（高度2000m – 高度1000m）で同じですので、

(b-2)式、(b-3)式は以下のように変形することができます。

\( \displaystyle \Delta Z=\ – \frac{\Delta P_O}{\rho_O g} =\ – \frac{\Delta P_R}{\rho_R g} \tag{b-4}\)

\( \displaystyle \Delta Z=\ – \frac{\Delta P_O}{\rho_O g} =\ – \frac{\Delta P_R}{\rho_R g} \tag{b-4}\)

(b-4)式より、マイナスと重力加速度 g を削除して

\( \displaystyle \frac{\Delta P_O}{\rho_O} = \frac{\Delta P_R}{\rho_R}\tag{b-5}\)

\( \displaystyle \frac{\Delta P_O}{\rho_O} = \frac{\Delta P_R}{\rho_R}\tag{b-5}\)

となります。

ここで、問題文の条件「この低気圧では、どの高度でも中心に近いほど高温であった。」より、

\( T_O > T_R \) となることが分かります。

気温が高いと言うことは、空気が膨張して密度が小さくなるため、

\( \rho_O < \rho_R \) と考えることもできます。

したがって、 (b-5)式において、\( \rho_O < \rho_R \) が成り立ちますので、等式を成り立たせるためには ΔP_O ＜ΔP_R でなければなりません。

以上より、中心Oの周辺の点Rにおける２つの高度間の気圧差ΔP_R は、中心Oにおける２つの高度間の気圧差ΔP_O より大きい（＝ΔP_R ＞ΔP_O） ので答えは 正 となります。

本問の解説：(c) について

→ 答えは 正 です。

ここでは、高度2000mにおける２点O’、R’間の気圧差ΔP₂₀₀₀ が、高度1000mの２点O、R間の気圧差ΔP₁₀₀₀ より (c) 小さい かどうかを考えます。

つまり、ΔP₂₀₀₀ ＜ΔP₁₀₀₀ であるかどうかを考えます。

中心O、O’、点R、R’の気圧をそれぞれ P_O 、P_O’ 、P_R 、P_R’ として考えます。

下線部(b)の結果から、点Rは中心Oに比べて鉛直方向の気圧減少量が大きいので

(c-1)

ΔP_O ＜ΔP_R

(c-1)

ΔP_O ＜ΔP_R

となります。

また、ΔP_O とΔP_R は高度1000mと高度2000mの気圧差ですので、ΔP_O＞0、ΔP_R＞0とすると

(c-2)

ΔP_O ＝ P_O – P_O’

(c-3)

ΔP_R ＝ P_R – P_R’

(c-2)

ΔP_O ＝ P_O – P_O’

(c-3)

ΔP_R ＝ P_R – P_R’

と書けます。

(c-1)式に(c-2)式、(c-3)式をそれぞれ代入すると

(c-4)

P_O – P_O’ ＜ P_R – P_R’

(c-4)

P_O – P_O’ ＜ P_R – P_R’

となります。

さらに、低気圧は中心の方が気圧が低いので、P_O ＜ P_R であり、ΔP₁₀₀₀ とΔP₂₀₀₀ はそれぞれ中心OとR、O’とR’の気圧差ですので、ΔP₁₀₀₀＞0、ΔP₂₀₀₀＞0とすると

ΔP₁₀₀₀ ＝ P_R – P_O

ΔP₁₀₀₀ ＝ P_R – P_O

↓移項して

(c-5)

P_O ＝ P_R – ΔP₁₀₀₀

(c-5)

P_O ＝ P_R – ΔP₁₀₀₀

ΔP₂₀₀₀ ＝ P_R’ – P_O’

ΔP₂₀₀₀ ＝ P_R’ – P_O’

↓移項して

(c-6)

P_O’ ＝ P_R’ – ΔP₂₀₀₀

(c-6)

P_O’ ＝ P_R’ – ΔP₂₀₀₀

と書けます。

(c-4)式に(c-5)式、(c-6)式をそれぞれ代入すると

(P_R – ΔP₁₀₀₀) – (P_R’ – ΔP₂₀₀₀) ＜ P_R – P_R’

(P_R – ΔP₁₀₀₀) – (P_R’ – ΔP₂₀₀₀) ＜ P_R – P_R’

↓括弧を外して

P_R – ΔP₁₀₀₀ – P_R’ + ΔP₂₀₀₀ ＜ P_R – P_R’

P_R – ΔP₁₀₀₀ – P_R’ + ΔP₂₀₀₀ ＜ P_R – P_R’

↓P_R と P_R’ を削除して

ΔP₂₀₀₀ ＜ ΔP₁₀₀₀

ΔP₂₀₀₀ ＜ ΔP₁₀₀₀

以上より、ΔP₂₀₀₀ ＜ ΔP₁₀₀₀ （＝高度2000mにおける２点O’、R’間の気圧差ΔP₂₀₀₀ は高度1000mにおける2点O、R間の気圧差ΔP₁₀₀₀ より小さい）となりますので、答えは 正 となります。

本問の解説：(d) について

→ 答えは 正 です。

ここでは、この低気圧において、高度が高くなるほど風速は (d) 小さくなるかどうかを考えます。

風は気圧が高い方から低い方に向かって吹き、気圧傾度が大きいほど、風速は大きくなります。

下線部(c)の結果から、高度2000mにおける２点O’、R’間の気圧差ΔP₂₀₀₀ は高度1000mにおける2点O、R間の気圧差ΔP₁₀₀₀ より小さいので

ΔP₂₀₀₀ ＜ ΔP₁₀₀₀

ΔP₂₀₀₀ ＜ ΔP₁₀₀₀

となります。

つまり、高度が高くなるほど気圧傾度は小さくなり、風速も小さくなるので、答えは 正 となります。

以上より、本問の解答は、(a) 正 (b) 正 (c) 正 (d) 正 とする １ となります。