【第61回】2024年１月試験（学科一般試験）問２（放射平衡温度）

本問は、放射平衡温度に関する問題です。

本問の解説：(a)について

（問題）地球が黒体放射していると仮定すると、地球から放出される長波放射エネルギーは放射平衡温度の (a) 乗に比例する。

→ 答えは ４ です。

問題(a)はステファン・ボルツマンの法則に関する基本的な問題です。

すべての物体は、その温度に応じた電磁波を放射しています。

同時に物体は入射してきた電磁波を吸収する性質も持ちます。

この入射してくる放射エネルギーをすべて余すことなく吸収する仮想的な物体を
黒体（読：こくたい）といいます。

黒体は与えられた温度に応じた最大の放射エネルギーを放出します。

この放射のことを 黒体放射（読：こくたいほうしゃ）といいます。

黒体放射の全ての波長帯のエネルギーの総量は、黒体の絶対温度の４乗に比例します。

この法則を ステファン・ボルツマンの法則 といいます。

（1879年にステファンが実験的に、1884年にボルツマンが理論的にこの法則を導いたためにステファン・ボルツマンの法則とよばれています。）

つまり、ある黒体の単位面積が単位時間あたりに放射するエネルギーを I [ Wm^-2 ] 、黒体の絶対温度を T [ K ]、ステファン・ボルツマン定数をσ = 5.67×10^-8 [ Wm^-2 K^-4 ] とすると、次の関係が成り立ちます。

I = σT ⁴

上式は、黒体の単位面積が単位時間あたりに放射するエネルギーですので、地球から（単位時間あたりに）放出される長波放射エネルギーは、地球の表面積（4πr² ( r は地球の半径)）を掛けて求めることができます。

以上より、地球から（単位時間あたりに）放出される長波放射エネルギーは

4πr ² × σT ⁴

となります。

したがって、地球が黒体放射していると仮定すると、地球から放出される長波放射エネルギーは放射平衡温度の４乗に比例しますので、答えは ４ となります。

本問の解説：(b)について

（問題）地球のアルベドをAとすると地球が吸収する短波放射エネルギーは (b) に比例する。

→ 答えは 1− A です。

アルベド とは、放射を受けたときの反射率のことです。

アルベドが１であれば、すべての放射を反射し、
アルベドが０であれば、すべての放射を吸収することを意味します。

地球のアルベドは0.3です。

つまり、地球は宇宙から受けた放射のうち、その30%が吸収されずに宇宙に反射されるということです。

下表はさまざまな場所や状況によるアルベドの一覧です。

場所・状況	アルベド
裸地※	0.1〜0.25
砂、砂漠	0.25〜0.4
森林地	0.1〜0.2
新雪	0.8〜0.95
海面（高度角25°以上）	0.1以下
海面（高度角25°以下）	0.1〜0.7
厚い雲	0.8前後
地球平均	0.3
金星平均	0.78
火星平均	0.16

アルベドは場所や状況によって変わりますが、一般的には、文字 A を使って表します。

つまり、太陽光の反射率がアルベド A なので、吸収率は残りの (1−A) となります。

（例えば、アルベドが 30% であれば、A = 0.3 で、吸収率は 1−A = 0.7 = 70% ということです。）

以上より、地球が吸収する短波放射エネルギーは、地球の半径を r [m] 、地球が１m² あたりに受ける太陽放射強度を S [W m^-2] とすると

(1−A) × πr² × S

となります。

したがって、地球のアルベドをAとすると地球が吸収する短波放射エネルギーは (1−A) に比例しますので、答えは 1− A となります。

本問の解説：(c)について

（問題）放射平衡の状態では、長波放射エネルギーと短波放射エネルギーが釣り合っている。これらの関係から、地球のアルベドが 0.3 から 0.35 に変化して放射平衡温度が T₁ から T₂ に変化したとすると、放射平衡温度 T₂ は (c) × T₁ となる。

→ 答えは (0.65/0.7)^1/4 です。

地球から放出される長波放射エネルギーは、問題(a)より

4πr ² × σT ⁴

であり、地球が吸収する短波放射エネルギーは、問題(b)より

(1−A) × πr ² × S

であることが分かりました。

放射平衡の状態では、地球が吸収する短波放射エネルギーと、地球から放出される長波放射エネルギーが釣り合っていますので、

(1−A) × πr ² × S = 4πr ² × σT ⁴

となります。

ここで、地球のアルベドが 0.3 と 0.35 のときの放射平衡温度をそれぞれ T₁ 、T₂ とすると、これらに対する放射平衡の式は以下のようになります。

(1−0.3) × πr ² × S = 4πr ² × σT₁⁴

(1−0.35) × πr ² × S = 4πr ² × σT₂⁴

これらの式から、

( T₂ / T₁ ) ⁴ = 0.65 / 0.7

T₂ = ( 0.65 / 0.7 )^1/4 × T₁

となります。

したがって、地球のアルベドが 0.3 から 0.35 に変化して放射平衡温度が T₁ から T₂ に変化したとすると、放射平衡温度 T₂ は (0.65/0.7)^1/4 × T₁ となりますので、
答えは (0.65/0.7)^1/4 となります。

以上より、本問の解答は、(a) ４ (b) 1-A (c) (0.65/0.7)^1/4 とする ４ となります。