【第61回】2024年１月試験（学科一般試験）問５（水滴の併合過程）

本問は、雲中の水滴の併合過程による成長に関する問題です。

本問の解説：(a)について

（問題）図のように、質量 m の小さな水滴が単位体積当たりの数密度 n で一様に分布している雲の中を、小さな水滴よりも十分に大きい半径 R の水滴が鉛直下向きに速さ W で落下している。大きな水滴が、通過する空間内のすべての小さな水滴を併合するとしたとき、大きな水滴の質量の単位時間あたりの増加量は (a) である。

→ 答えは πmnR²W です。

大きな水滴が単位時間 ( Δt = 1とする ) あたりに通過する空間の体積 V は、
底面積 ( πR² [m²] ) × 高さ ( W [m/s] × 1 [s] ) で表すことができるので

V = πR²W

となります（下図参照）。

また、体積 V の中にある小さな水滴を全て併合して吸収するとすれば、小さな水滴の質量の総和は
質量 ( m [g] ) × 個数 ( n [ 個/m³ ] × V [m³] ) で表すことができるので、大きな水滴の単位時間あたりの質量増加量 ΔM は、

ΔM = m × ( n × V )
　= πmnR²W

となります。

したがって、大きな水滴の質量の単位時間あたりの増加量は πmnR²W ですので、答えは πmnR²W となります。

本問の解説：(b)について

（問題）質量の増加に伴い、大きな水滴の半径が表面全体 ( 表面積 4πR² ) で一様に増加するとすれば、単位時間の半径の増加量は (b) に比例する。

→ 答えは W です。

問題(a)で求めた質量の増加量 ΔM が、大きな水滴の表面 ( 表面積4πR² ) に一様に広がるとして考えます。

このとき、大きな水滴の体積の増加量 ΔV は、水滴の密度を ρ とすると、

と表すことができます。

また、大きな水滴の体積の増加量 ΔV は、水滴の表面積 4πR² を底面、水滴の半径の増加量 Δr を高さとする円柱の体積として近似することもできますので、

ΔV = 4πR²Δr

と表すこともできます（下図参照）。

これらが等しいので、

となり、半径の増加量 Δr は、落下速度 W に比例することが分かります。

したがって、質量の増加に伴い、大きな水滴の半径が表面全体 ( 表面積 4πR² ) で一様に増加するとすれば、単位時間の半径の増加量 Δr は W に比例しますので、答えは W となります。

本問の解説：(c)について

（問題）このとき、W が R^1/2 に比例するとすれば、水滴が大きくなるとともに単位時間の半径の増加量は (c) なる。

→ 答えは 大きく です。

問題(b)より、単位時間の半径の増加量 Δr は、落下速度 W に比例します。

また、問題文より W が R^1/2 に比例すると仮定しますので、

Δr ∝ W ∝ R^1/2

であることが分かります。

したがって、W が R^1/2 に比例するとすれば、水滴が大きくなる（＝ R が大きくなる）とともに単位時間の半径の増加量 Δr は大きくなりますので、答えは 大きく となります。

以上より、本問の解答は、(a) πmnR²W (b) W (c) 大きく とする ４ となります。